Nepogrešivi bilijarski sto Print
Autor: Nemanja Đorđević   
Subota, 24 April 2010 11:31

preuzeto iz časopisa "Matematiskop" novembar 2008.

Koristeći znanja iz geometrije moguće je napraviti takav bilijarski sto na kome ne možete da promašite. Ukoliko do sada niste imali sreće i iskustva u bilijaru nemojte da brinete, kod nepogrešivog stola matematika je na vašoj strani. Zadatak je jednostavan. Pred vama su dve obične kugle i sto elipsastog oblika, a cilj je da iz jednog odbitka prvom kuglom pogodite drugu. U stvari, pravi problem je promašiti! Da bi smo objasnili zašto je to tako, moraćemo da se podsetimo jednog fizičkog zakona i jedne matematičke definicije.

Prvo, kugle se (kao što je to slučaj i sa svetlošću) pri odbijanju od neke prepreke pokorovaju zakonu koji glasi: “Upadni ugao je jednak odbijenom”. I ne samo to, od svih mogućih puteva po kojima kugla može da nastavi da se kreće posle odbijanja, ona uvek “bira” onaj koji je i najkraći. Na to je ukazao grčki matematičar iz prvog veka pre nove ere Heron Aleksandrijski. Sada ostaje da se složimo oko toga šta mislimo kada kažemo elipsa. Prvi koji ju je proučavao kao matematičku krivu bio je Menehmi (a kumovao joj je vek kasnije veliki geometar i astronom Apolonije iz Perga u svom šestotomnom delu “Konike”). Nanovo je za ovu krivu počeo da interesuje tek Johan Kepler (17. vek), kada je otkrio da su putanje planeta koje se okreću oko Sunca eliptične, čime je formulisao prvi Keplerov zakon. Vremenom se nakupilo više različitih definicija, ali s istim ciljem. Jednom se izjavljuje: „Elipsa je presek kupe i ravni koja zaklapa manji ugao sa bazom te kupe, nego li sa izvodnicom“. Druga nas obaveštava: „Svaka tačka elipse je manje udaljena od neke stalne tačke (fokusa), nego li od neke prave (koju zovemo direktrisa)“. Treća nam nedvosmisleno tvrdi da sečenjem salame pod nepravim uglom pripremamo predjelo od elipsica. Dakle, Grci su je nazvali elipsa (λλειψις), jer joj nešto fali. Tu nije kraj, jer opisa elipse ima još, ali za obrazloženje nepogrešivosti bilijarskog stola posebno je zanimljiva jedna.


„Elipsa je skup tačaka za koje važi da je zbir rastojanja do svakog fokusa konstantan“


Sada nam preostaje da skupljeno znanje primenimo na problem odgonetanja nepogrešivosti bilijarskog stola. Kako po Heronu kugla uvek ”bira” najkraći put, a kako kod elipse (po definiciji) ne postoji razlika među putevima koje kugla prelazi od fokusa, preko mantinele do drugog fokusa, onda kugla koju udarite nema izbora nego da krene tragom sudara s suparnicom na drugoj strani stola. Odavde takođe sledi i suprotan ishod. Ako posle prvog udarca ne pogodite kuglu, više nikada nećete proći ni kroz jedan od fokusa, makar se kugla bezbroj puta odbijala.

Prvi koji je razmišljao o krivim bilijarskim stolovima bio matematičar Luis Kerol poznatiji po knjigama o devojčici Alisi.

Internet nudi još mnogo toga na ovu temu i to na adresama:

http://cage.ugent.be/~hs/billiards/billiards.html - Detaljno objašnjenje i dokaz ovog svojstva elipse.

http://serendip.brynmawr.edu/chaos/doc.html - Ovde ćete naći veliki broj animacija i informacija.